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Regione 2
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Regione 2

 


Equazioni di base

Le equazioni di base relative a questa regione coincidono con l’equazione fondamentale dell’energia libera di Gibbs g. Questa equazione espressa in forma adimensionale, γ=g/(RT), è divisa in due parti la prima si riferisce al gas ideale γ0 mentre la seconda alla parte residua γr : 

 (15)

dove π=p/p* e τ=T*/T con R=0.461526 kJ/(kg·K)
La parte della equazione (15) relativa alla parte gas ideale γ0 è la seguente:

 (16)

dove π=p/p* e τ=T*/T con p*= 1MPa e T*= 540 K
I coefficenti n10e n20 sono calcolati in base all’energia interna specifica e all’entropia specifica di un gas ideale come da eq. (8). I coefficenti n10 e l’esponente Ji0 riferiti all’eq. (16) sono elencati nella seguente tabella 10. 

TABELLA 10
Valori dei coefficenti e degli esponenti della equazione adimensionale dell’energia libera di Gibbs relativi alla regione 2 come da eq. (16)

i
Ji0
ni0
i
Ji0
ni0
1a
0
-0.969 276 865 002 17 x 101
6
-2
0.142 408 191 714 44 x 101
2a
1
0.100 866 559 680 18 x 10²
7
-1
-0.438 395 113 194 50 x 101
3
-5
-0.560 879 112 830 20 x 10-²
8
2
-0.284 086 324 607 72
4
-4
0.714 527 380 814 55 x 10-1
9
3
0.212 684 637 533 07 x 10-1
5
-3
-0.407 104 982 239 28
     
a Se l’eq. (16) e incorporata nell’eq. (18) i valori dei coefficenti n10 e n20 sono i seguenti:
n10=-0.969 372 683 930 49 x 101
n20=0.100 872 759 700 06 x 102

La parte della equazione (15) relativa alla parte residua γr è la seguente:

 (17)

dove π=p/p* e τ=T*/T con p*= 1MPa e T*= 540 K
I coefficenti ni e gli esponenti Ii e Ji riferiti all’eq. (17) sono elencati nella seguente tabella 11. 

TABELLA 11
Valori dei coefficenti e degli esponenti della equazione della parte residua γr come da eq. (17)

i
I i
Ji
ni
1
1
0
-0.177 317 424 732 13 x 10-2
2
1
1
-0.178 348 622 923 58 x 10-1
3
1
2
-0.459 960 136 963 65 x 10-1
4
1
3
-0.575 812 590 834 32 x 10-1
5
1
6
-0.503 252 787 279 30 x 10-1
6
2
1
-0.330 326 416 702 03 x 10-4
7
2
2
-0.189 489 875 163 15 x 10-3
8
2
4
-0.393 927 772 433 55 x 10-2
9
2
7
-0.437 972 956 505 73 x 10-1
10
2
36
-0.266 745 479 140 87 x 10-4
11
3
0
0.204 817 376 923 09 x 10-7
12
3
1
0.438 706 672 844 35 x 10-6
13
3
3
-0.322 776 772 385 70 x 10-4
14
3
6
-0.150 339 245 421 48 x 10-2
15
3
35
-0.406 682 535 626 49 x 10-1
16
4
1
-0.788 473 095 593 67 x 10-9
17
4
2
0.127 907 178 522 85 x 10-7
18
4
3
0.482 253 727 185 07 x 10-6
19
5
7
0.229 220 763 376 61 x 10-5
20
6
3
-0.167 147 664 510 61 x 10-10
21
6
16
-0.211 714 723 213 55 x 10-2
22
6
35
-0.238 957 419 341 04 x102
23
7
0
-0.590 595 643 242 70 x 10-17
24
7
11
-0.126 218 088 991 01 x 10-5
25
7
25
-0.389 468 424 357 39 x 10-1
26
8
8
0.112 562 113 604 59 x 10-10
27
8
36
-0.823 113 408 979 98 x 101
28
9
13
0.198 097 128 020 88 x 10-7
29
10
4
0.104 069 652 101 74 x 10-18
30
10
10
-0.102 347 470 959 29 x 10-12
31
10
14
-0.100 181 793 795 11 x 10-8
32
16
29
-0.808 829 086 469 85 x 10-10
33
16
50
0.106 930 318 749 09
34
18
57
-0.336 622 505 741 71
35
20
20
0.891 858 453 554 21 x 10-24
36
20
35
0.306 293 168 762 32 x 10-12
37
20
48
-0.420 024 676 982 08 x 10-5
38
21
21
-0.590 560 296 865 39 x 10-25
39
22
53
0.378 269 476 134 57 x 10-5
40
23
39
-0.127 686 089 346 81 x 10-14
41
24
26
0.730 876 105 950 61 x 10-28
42
24
40
0.554 147 153 507 78 x 10-16
43
24
58
-0.943 697 072 412 10 x 10-6
 
Tutte le proprietà termodinamiche sono derivate dall’equazione (15) con la corretta combinazione della parte del gas-ideale γ0 eq.(16) e della parte residua γr eq.(17) relativi alla energia libera di Gibbs e relative derivate. Le proprietà più importanti incluso γ0 e γr con le relative derivate sono elencati nella tabella 12 mentre tutte le derivate richieste sono rispettivamente elencate nella tabella 13 e 14. 

TABELLA 12
Relazioni tra le varie proprietà termodinamiche sia la parte del gas-ideale γ0 sia la parte residua γrcome da eq. (15) e (18)

Proprietà

Relazione

Volume specifico

Energia specifica interna

Entropia specifica

Entalpia specifica

Capacità termica massica a pressione costante

Capacità termica massica a volume costante

Velocità del suono

 

TABELLA 13
Equazioni relative alla parte del gas-ideale γ0 come da eq. (16)

TABELLA 14
Equazioni relative alla parte residua γr come da eq. (17)

Intervallo di validità

L’equazione (15) è valida per i seguenti valori di temperatura T e pressione p:

273.15 K ≤ T ≤ 623.15 K ; 0 < p ≤ ps(T)eq.(30)

623.15 K < T ≤ 863.15 K ; 0 < p ≤ p(T)eq.(5)

863.15 K < T ≤ 1073.15 K ; 0 < p ≤ 100 MPa

Inoltre le proprietà calcolate per la fase vapore ottenuti mediante l’eq.(15) possono essere valide anche nelle fasi intermedie, fase vapore metastabile, solo per pressioni p oltre i 10 MPa mentre non sono valide per pressioni inferiori.

Test calcolo computer

La seguente tabella 15 contiene i valori di verifica relativi alla eq. (15).

TABELLA 15
 Valori delle proprietà calcolati con l’eq. (15) in funzione di T e p

 
T= 300K
P= 0.0035 MPa
T= 700K
 P = 0.00035 MPa
T  = 700K
P = 30 MPa
v (m³·kg-1)
0.394 913 866 x 10²
 0.923 015 898 x 10²
0.542 946 619 x 10²
h (kJ·kg-1)
0.254 991 145 x 104
0.333 568 375 x 104
0.263 149 474 x 104
u (kJ·kg-1)
0.241 169 160 x 104
0.301 262 819 x 104
0.246 861 076 x 104
s (kJ·kg-1·K-1)
0.852 238 967 x 10
0.101 749 966 x 10²
0.517 540 298 x 10
cp (kJ·kg-1·K-1)
0.191 300 162 x 10
0.208 141 274 x 10
0.103 505 092 x 10²
w (m·s-1)
0.427 920 172 x 10³
0.644 289 068 x 10³
0.480 386 523 x 10³

Equazione supplementari nel caso di fase vapore metastabile

Le equazioni supplementari nel caso di fase intermedia, detta fase vapore metastabile, relative a questa regione coincidono con l’equazione fondamentale dell’energia libera di Gibbs g. Questa equazione espressa in forma adimensionale, γ=g/(RT), è divisa in due parti la prima si riferisce al gas ideale γ0 mentre la seconda alla parte residua γr : 

 (18)

 

dove π=p/p* e τ=T*/T con R=0.461526 kJ/(kg·K)

L’equazione relativa alla parte del gas-ideale, γ0, è identica alla eq.(16) eccetto per i valori dei coefficenti n10 e n20 che variano come da leggenda tabella 10. 

La parte relativa alla parte residua γr è descritta dalla seguente equazione:

 (19)

dove π=p/p* e τ=T*/T con p*= 1MPa e T*= 540 K
I coefficenti ni e gli esponenti Ii e Ji riferiti all’eq. (19) sono elencati nella seguente tabella 16. 

TABELLA 16
Valori dei coefficenti e degli esponenti della parte residua γr come da eq. (19)

i
Ii
Ji
ni
1
1
0
-0.733 622 601 865 06 x 10-2
2
1
2
-0.882 238 319 431 46 x 10-1
3
1
5
-0.723 345 552 132 45 x 10-1
4
1
11
-0.408 131 785 344 55 x 10-2
5
2
1
0.200 978 033 802 07 x 10-2
6
2
7
-0.530 459 218 986 42 x 10-1
7
2
16
-0.761 904 090 869 70 x 10-2
8
3
4
-0.634 980 376 573 13 x 10-2
9
3
16
-0.860 430 930 285 88 x 10-1
10
4
7
0.753 215 815 227 70 x 10-2
11
4
10
-0.792 383 754 461 39 x 10-2
12
5
9
-0.228 881 607 784 47 x 10-3
13
5
10
-0.264 565 014 828 10 x 10-2

TABELLA 17
Equazioni relative alla parte residua γr come da eq. (19)

Intervallo di validità

L’equazione (18) è valida nella fase vapore metastabile a partire dalla linea del vapore saturo fino alla linea che indica una miscela in equilibrio pari al 5% determinata con l’equilibrio dei valori di h’ e h’’ e con una pressione a partire dal triplo punto, vedi eq.(9), di oltre 10MPa.

Tolleranza numerica

I valori calcolati con l’eq.(18) con l’equazione di base, eq.(15), lungo la linea del vapore saturo devono avere una tolleranza massima per quanto riguarda v, h, cp, s, g e w di:

v|max = 0.014 % 
h|max = 0.043 kJ·kg-1
cp|max = 0.78 %
s|max = 0.082 kJ·kg-1
g|max = 0.023 kJ kg-1
w|max = 0.051 %

Test calcolo computer

La seguente tabella 18 contiene i valori di verifica relativi alla eq. (18).

TABELLA 18
 Proprietà termodinamiche calcolati con l’eq. (18) in funzione di T e p

 
T = 450K
p= 1 MPa
T = 440 K
p = 1 MPa
T= 450K
p= 1,5 MPa
v (m³·kg-1)
0.192 516 540
0.186 212 297
0.121 685 206
h (kJ·kg-1)
0.276 881 115 x 104
0.274 015 123 x 104
0.272 134 539 x 104
u (kJ kg-1)
0.257 629 461 x 104
0.255 393 894 x 104
0.253 881 758 x 104
s (kJ·kg-1·K-1)
0.656 660 377 x 101
0.650 218 759 x 101
0.629 170 440 x 101
cp (kJ·kg-1·K-1)
0.276 349 265 x 101
0.298 166 443 x 101
0.362 795 578 x 101
w (m·s-1)
0.498 408 101 x 103
0.489 363 295 x 103
0.481 941 819 x 103

Equazioni inverse

Per poter calcolare le proprietà con le equazioni inverse T(p,h) e T(p,s) con un errore di calcolo tollerabile bisogna suddividere la regione 2 in tre sottoregioni, chiamate subregioni, come da sottostante figura 2.

La linea che delimita le subregioni 2a e 2b è una isobara con una pressione p = 4 MPa mentre la curva che delimita le regioni 2b e 2c ha un valore di entropia s = 5.85 kJ·kg-1·K-1.

Per poter usare l’equazione inversa T(p,h), relative ad ogni subregione, dobbiamo sapere a priori se si devono considerare le equazioni relative alla subregione 2b o alla subregione 2c in quanto la curva isoentropica che delimita le due subregioni ha un valore s = 5.85 KJ·kg-1·K-1. A tale scopo si usa la seguente equazione, denominata B2bc, che mette in relazione la pressione e l’entalpia:
 

 (20)

 
dove π=p/p* e η=h*/h con p*=1 MPa e h*=1 kJ·kg-1.
I coefficenti n1 e nsono elencati nella tabella 19.
L’eq.(20) non descrive in modo esatto la curva isoentropica corrispondente al valore di s = 5.85 kJ·kg-1·K-1 ma delimita un intervallo tra s = 5.81 kJ·kg-1·K-1 e s = 5.85 kJ·kg-1·K-1
La forma esplicita dell’eq.(20) in funzione dell’entalpia è la seguente:

 (21)

dove π e η sono uguali all’eq.(20) mentre i coefficenti n3 e n5 sono elencati nella seguente tabella 19. 

TABELLA 19
 Valori dei coefficenti dell’equazione B2bc come da eq. (20) e (21)

i
ni
i
ni
1
0,905 842 785 147 23 x 10³
4
0,265 265 719 084 28 x 104
2
-0,679 557 863 992 41
5
0,452 875 789 059 48 x 101
3
0,128 090 027 301 36 x 10-3
   

Intervallo di validità

Le equazioni (20) e (21) devono venire usate nell’intervallo corrispondente allo stato di saturazione tra  T = 554.485 K con ps = 6.54670 MPa e  T = 1019.32 K con p = 100 MPa.

Test calcolo computer

L’ eq.(20) e (21) devono verificare sia in p che in h il seguente singolo punto:

p = 0.100 000 000 x 103 MPa
h = 0.351 600 432 3 x 104 kJ·kg-1

Nel caso dell’equazione inversa T(p,s) dato che l’entropia s fa parte di una delle variabili di calcolo la scelta diventa automatica e quindi l’uso dell’eq.(20) e (21) è superfluo..

Per le equazioni inverse complete di indici e coefficenti fare riferimento alle rispettive subregioni 2a, 2b e 2c.